H27 問16

＜画像クリックで拡大表示＞
問題はこちら

解説

負荷のデルタースター変換に関する問題です。
三相交流回路でなくても、デルター変換を使うといいことがあるということを
この問題を通じて体感してみましょう。

負荷のデルタースター変換は、抵抗とコイルの場合1/3倍、コンデンサの場合は3倍となります。
丸暗記でもいいのですが、せっかくなので導出してみましょう。

１相分の静電容量を考えていきます。ここではb-c間の静電容量を考えます。
デルタ結線では$C_{bc}$に並列に$C_{cd}$と$C_{bd}$の直列接続がつながります。

これらの合成の静電容量は、以下のようになります。
$$C_{\Delta}=C_{bc}+\frac{C_{cd}C_{bd}}{C_{cd}+C_{bd}}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\,\,\mu \rm F$$

一方、スター結線では$C_b$と$C_c$が直列接続されるので、
合成の静電容量は、以下のようになります。
$$C_Y=\frac{C_bC_c}{C_b+C_c}=\frac{C}{2}$$

ここで定義した$C_{\Delta}$と$C_Y$が一致するようにな$C$を求めます。
$$\frac{C}{2}=\frac{9}{2}\,\,\rightarrow\,\,C=9\,\,\mu \rm F$$

以上より、$C=9\,\,\mu\rm F$が設問（ａ）の解となります。

添付画像の左のページ下部の図のように、赤枠の部分をデルタースター変換します。
各静電容量は先に求めた$Ｃ$を適応します。

全体の静電容量を求めるにあたり、まず前半の端子a-o間の合成の静電容量を求めます。
$$C_{ao}=\frac{18\cdot 9}{18+9}+\frac{9\cdot 9}{9+9}=\frac{21}{2}$$

次に、$Ｃ_{ao}$と$9\,\,\mu\rm F$の直列接続を求めます。
$$C_{ab}=\frac{C_{ao}\cdot9}{C_{ao}+9}=\frac{63}{13}\sim 4.8\,\,\mu\rm F$$

以上より、$C_{ab}=4.8\,\,\mu\rm F$が設問（ｂ）の解となります。

補足として、添付画像の右ページ下部に抵抗、コイル、コンデンサの
デルタースター変換時の各素子の値の倍率を表す対応表をつけています。

デルタースター変換がスムーズに計算できるように、対応表をきちんと理解しておきましょう。