H28 問17

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解説

平行板の静電容量に関する問題です。

設問（ｂ）は難解ですが、図説と補足（水に例えてみる）を作ってみましたので、
図を見ながら理解を深めていただければ幸いです。

それでは、解説に移ります。

設問（ａ）

平行板の面積と電極との距離が定められているので、平行板の静電容量の公式を使って、
まず、それぞれの空気コンデンサの静電容量を求めます。
$$C_1=\varepsilon_0\frac{A_1}{d}=8.85\times10^{-12}\,\rm{F}$$
$$C_2=\varepsilon_0\frac{A_2}{d}=8.85\times10^{-11}\,\rm{F}$$

次に、コンデンサに蓄えられた合計の電荷を求めます。
コンデンサの電圧と電荷の関係式$Q=CV$を用いて、
$$Q=(C_1+C_2)V_0=(8.85+0.885)\times 10^{-11}\times 10^3=9.7\times 10^{-8}\,\rm{C}$$
となります。ここで、電源から見たとき、$C_1$と$C_2$は並列接続されるので、
合成の静電容量は$C=C_1+C_2$で表せることを押さえてきましょう。

設問（ｂ）

設問（ｂ）では空気コンデンサ$C_2$の電極間距離を変化させたときに生じる火花放電の
絶縁破壊電圧を求めます。

添付画像の左ページの下部に火花放電が発生するまでの$C_1$と$C_2$の状態変化について
図説を設けています。

「図（２）$x$を増やす」の部分について解説します。

空気コンデンサ$C_2$の電極間距離$x$を広げていくと$C_2$の静電容量が小さくなります。
このとき$Q=CV$の関係式より、$Q$を一定に保つように$C_2$の静電容量が下がる分だけ、電圧が上昇します。

しかし、空気コンデンサ$C_2$は空気コンデンサ$C_1$と接続されているため、
それぞれのコンデンサの電圧は同じ（同電位）になるようにクーロン力が発生します。

その結果、空気コンデンサ$C_2$内の電荷が空気コンデンサ$C_1$に移動し、
空気コンデンサ$C_1$の電圧が上昇します。

従って、空気コンデンサ$C_2$の電極間距離$x$を広げていくと、
結果的に空気コンデンサ$C_1$の電圧が上昇していきます。

$x$を大きくし続け、空気コンデンサ$C_1$の絶縁破壊電圧に達すると、
電極と床の間で火花放電が発生します。（図（３）火花放電が発生）

図（３）火花放電が発生の回路図をもとに、方程式を立てます。

火花放電発生時の空気コンデンサ$C_1$に蓄えられた電荷を$Q_1’$、
空気コンデンサ$C_2$に蓄えらえた電荷を$Q_2’$、静電容量を$C_2’$とし、
静電容量$C_2’$を求めます。

それぞれのコンデンサの電圧のつり合いと、合計電荷$Q$は不変であることから、
$$V=\frac{Q_2′}{C_2′}=\frac{Q_1′}{C_1}=\frac{Q-Q_2′}{C_1}$$
という関係式が得られます。

この式から、$Q_1’$は使わずに、$Q_2’$を表す式を作ります。
$$\frac{Q_2′}{C_2′}=\frac{Q-Q_2′}{C_1} \rightarrow Q_2’=\frac{C_2′}{C_1+C_2′}Q$$

一方、火花放電が発生するときの空気コンデンサ$C_2’$の電極間距離$x$は、問題で定められているので、
$$C_2’=\varepsilon_0\frac{A_2}{x}=\frac{1}{3}\times 8.85\times 10^{-11}\,\rm{F} \rightarrow C_2’=\frac{10}{3}C_1$$
と表すことできます。

先に得た2つの式を使って絶縁破壊電圧を求めます。
$$V=\frac{Q_2′}{C_2′}=\frac{1}{C_2′}\frac{C_2′}{C_1+C_2′}Q=\frac{1}{C_1+C_2′}(C_1+C_2)V_0$$
$$V=\frac{1}{C_1+\frac{10}{3}C_1}(C_1+10C_1)V_0=\frac{3}{13C_1}\times11C_1\cdot 1000$$
$$\frac{33}{13}\times 1000 = 2.5\times 10^{3}\,\rm{V}$$

2つのコンデンサの電圧が同じになること、
電極間距離$x$が変化しても合計電荷$Q$は変わらないこと、
この2つがポイントです。

図説の理解をサポートするために、補足資料として設問（ｂ）を水に例えた解説を
添付画像の右ページに記載しています。

一読いただき、理解深めるためのお役に立てば幸いです。

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