H27 問09

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解説

コンデンサの静電容量の合成に関する問題です。

各コンデンサの静電容量をもとに\(V_{in}\)と\(V_{out}\)の電圧比を求めていきます。

直流回路でいうところのラダー回路の計算に近いです。

従って、回路の右側（\(V_{out}\)）から左側（\(V_{in}\)）へ計算を進めていくのがよいでしょう。

各コンデンサの静電容量が\(C_1\)、\(C_2\)、\(C_3\)、\(C_4\)と定められているので、
各コンデンサの電圧も同様に\(V_1\)、\(V_2\)、\(V_3\)、\(V_4\)と定めて以下計算を進めます。

まず\(V_3\)と\(V_4\)（\(V_{out}\)）の電圧比を求めます。
コンデンサが直列に接続されている場合、それぞれの電圧の比は、静電容量の逆比となります。
$$V_3:V_4=C_4:C_3=9:1$$

次に合成静電容量\(C_{bc}\)を求めます。
$$C_{bc}=C_2+\frac{C_3C_4}{C_3+C_4}=900+\frac{900\times100}{900+100}=990\,\,\mu \rm{F}$$

得られた\(C_{bc}\)を用いて、\(V_1\)と\(V_2\)の電圧比を求めます。
$$V_1:V_2=C_{bc}:C_1=99:1$$
ここで\(V_2=V_3＋V_4\)の関係を用いると、
$$V_1:V_2=V_1:V_3+V_4=990:10\rightarrow V_1:V_2:V_3:V_4=990:10:9:1$$
という関係が得られます。

従って、\(V_{out}\)と\(V_{in}\)の関係は以下のようになります。
$$V_{in}=V_1+V_2=990+10=1000\,\,,\,\,V_{out}=V_4=1$$
$$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{1000}$$

電圧が分からなくても、比の計算をだけで、電圧比は導出することができます。

慣れるは大変かもしれませんが、電験の問題では応用が利くところが多く、私は好んで使っています。

是非この解法を参考にしていただければ幸いです。