H28 問01

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解説

等電位線に関する問題です。

計算で求める必要はないので、だいたいこんな感じになるだろうとイメージできることが大切です。

電気力線があっての等電位線だということを覚えておきましょう。

等電位線とは、天気図の等圧線のようなものです。
電気力線が描いて、同じ電位になる部分を線で結んでいくと等電位線が描けます。

この作業は必須ではないですが、どの位置が$V=0$になるかが見積もれると理解が深まると思いますので、
簡単な計算で求めてみます。

ということで、点電荷$2Q$と$-Q$それぞれが作る電荷を考えます。

点電荷により生じる電位は、
$$V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$$
となります。

各点電荷による電位は、
$$V_1(r)=\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0x_1}, V_2(r)=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0x_2}$$
となります。ここで$x_1$、$x_2$は各点電荷からの距離になります。

2つの点電荷により$V=0$となる点は、添付画像の中央部の計算より、
$$x_1:x_2=2:1$$
となり、$x$軸上の$x=0$と$x=-2.5d$の2点となります。

電気力線を描く特に気を付けるポイントは以下の基本３項＋１項となります

最後の１項は、例えば2つの同じ大きさの点電荷だと気にしなくていいのですが、
この問題のように電荷の大きさが違う場合は気にしないといけません。

電界をイメージするときに、大きな電荷の周りに小さい電荷があっても、
電界は大きな電荷に依存して電界が決まることを想像すると、
電荷が大きい方の電気力線が支配的で、電気力線は曲がりにくいと考えることができます。

上記の４つのポイントをもとに描いた電気力線を添付画像の下部に記載しています。

（１）で求めた$x$軸上の$V=0$となる点を通るように等電位線を描きます。
等電位線は電気力線に垂直に交わるということを意識して、$-Q$の周りを囲うように等電位線を描いて完成となります。

補足として、電位の式から等電位線を求める方法を解説しています。
計算に自信がある方は挑戦してみてください。

電気力線や等電位線が描けると、電界や電位の分布がイメージできるようになります。
電磁気学を深く理解していくためには必要なテクニックなので、
苦手な方は問題を解くときに電気力線と等電位線をイメージすることを習慣にしてみるのもいいと思います。